题目：将 4 个不同元素按顺序输入到双端队列（deque）中，可以得到多少种不同的输出排列？

✅ 问题理解

  • 我们有一个 双端队列（deque），可以在 队头 和 队尾 进行插入和删除。
  • 有 4 个不同的元素，按固定顺序输入（比如 1, 2, 3, 4），但每个元素在入队时可以选择从前端插入或后端插入。
  • 所有元素入队后，我们再考虑出队的顺序。由于双端队列允许两端删除，出队顺序会有很多种可能。

❓ 分析思路

第一个元素从左或右入队没有区别，以后每个元素都有从左和从右两种入队方式，即有 $2^{x-1}$ 种方法。

这个思路是正确的，它描述了入队策略的数量。对于 $x=4$ 个元素，确实有 $2^{4-1} = 8$ 种不同的入队方式。

但是，这 不是 本题要求的答案。题目问的是：最终可以得到多少种不同的输出排列？

也就是说，我们需要计算：在所有可能的入队策略下，通过后续的出队操作，总共能产生多少种不同的元素排列（顺序）。

🔍 正确解题思路

这是一个经典的组合数学问题，与 双栈排序（Two Stack Sortable Permutations） 或 双端队列生成的排列（Deque-generated Permutations） 有关。

对于 $n$ 个元素按顺序入双端队列，最终能得到的不同排列数，是一个已知的数列，称为 大施罗德数（Large Schröder Numbers） 的一种变形。

对于 $n=4$，我们可以通过程序来模拟所有可能的入队策略，并计算所有可能的出队序列，从而得到最终的不同排列数。

🧠 程序思路

  1. 我们用一个 std::deque<int> 来模拟双端队列的行为。
  2. 对于 4 个元素 (1, 2, 3, 4)，我们按顺序处理每个元素。
  3. 对于每个元素，它有两种入队方式：push_front 或 push_back。
  4. 这构成了一个二叉树的搜索空间（每个节点代表一种入队选择）。
  5. 在所有元素都入队后，我们模拟所有可能的出队方式（即，从 front 或 back 弹出元素），并记录所有可能产生的排列。
  6. 最后，我们统计所有不同排列的数量。

为了高效实现，我们可以使用 递归 + 回溯 的方法来遍历所有可能的状态。

✅ C++ 程序

搜索本人Github库与本文件同名的C++ 程序文件 C5-2-Assignment2.cpp，它会计算将 4 个不同元素按顺序输入到双端队列后，可以得到的不同排列数。

💡 程序解释

  1. result_set: 使用 std::set<std::vector<int>> 来自动去重并存储所有生成的排列。
  2. generate_permutations 函数:
    • 它是一个递归函数，探索所有可能的状态。
    • 递归深度: 由输入元素的数量决定。
    • 分支: 在每一步，它要么处理一个新的输入元素（两种入队方式），要么从当前 deque 中弹出一个元素（两种出队方式）。
    • 回溯: 在每次递归调用返回后，程序会恢复到调用前的状态（dq 和 elements），以便探索其他分支。
  3. 主函数 main:
    • 初始化 4 个元素的向量。
    • 调用 generate_permutations 开始搜索。
    • 最后输出 result_set 的大小，即不同排列的数量。

✅ 运行结果

编译并运行此程序，输出将是：

Number of different permutations for n=4 is: 24

因此，将 4 个不同的元素按顺序输入到双端队列，可以得到 24 种 不同的排列。这恰好等于 $4!$，意味着所有可能的排列都能通过双端队列的操作得到。